TUGAS KELOMPOK 3 MATEMATIKA INFORMATIKA :RELASI REKURSI

1.Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98…..

a. an= 7n (2) , n > 1
b. an= 7n (1) , n > 0
c. an= 7n , n > 2
d. an = 7n (2) , n > 0

Jawab:

Untuk n = 1 maka a1 = 7 a0 a2 = 7 a1 = 7 (7 a0) = 72a0 dari a2 = 98 maka 98 = 49 a0
sehingga diperoleh a0 = 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus akan diperoleh :
a3 = 7 a2 = 7 (72 a0) = 73 a0 ……….dan seterusnya
sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi di atas adalah:
an= 7n (2) , n > 0

========================================================================

2. Diketahui : Suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2,

Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1)

Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 = 2.

Ditanya : Hitunglah c5 !

A.      C5 = 90

B.      C5 = 92

C.      C5 = 84

D.     C5 = 94

Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bisa dihitung secara

langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.

• c2 = c1 + 2 c0 + 1 =

2 + 2.1 + 1       = 5

• c3= c2 + 3 c1 + 1 =

5 + 3.2 + 1      = 12

• c4= c3 + 4 c2 + 1

12 + 4.5 + 1    = 33

• c5= c4 + 5 c3 + 1 =

33 + 5.12 + 1   = 94

Jadi, c5 = 94

========================================================================

3. Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekursi dari :

an + 4 an-1 + 4 an-2 = 0…..

a. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n , an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n

b. an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .

c. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,

d. an(h) = (A1 nm-1) an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .

Jawab :

Relasi rekurensi homogen : an + 4 an-1 + 4 an-2 =0.

Persamaan karakteristiknya adalah a2 + 4 a + 4 = 0

(a+ 2) (a + 2) = 0

Akar-akar karakteristik a1 = a2 = -2 , m = 2,

Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk:

an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n

========================================================================

4.

Jika gambarnya tidak muncul dapat melalui link ini

========================================================================

5. an = an – 2 – an – 1 untuk n > 2

a0 = 10 dan a1 = 5 Tentukan a2 dan a4.

Jawab :

an = an – 2 – an – 1

a2 = a2 – 2 – a2 – 1

= a0 – a1

= 10 – 5

a2 = 5

a4 = a2 – a3

= 5 – a2

= 5 – 5

= 0

========================================================================

6. Tentukan solusi homogen dari:

bn + 2bn-1 – 8bn-2 = 0; dengan batas b0 = 4 & b1 = 3

a. 1(4)^n + 3(-2)^n

b. 2(4)^n + 2(2)^n

c. 1(-4)^n + 3(2)^n

d. 2(-4)^n + 2(-2)^n

Jawab:

Kita ubah dulu bn menjadi α maka

α² + 2α – 8 = 0

(α – 4) (α + 2)

α1 = 4 & α2 = -2 maka

an = A1a1^n + A2a2^n

= A1(4)^n + A2(-2)^n

b0 = 4 = A1(4)^0 + A2(-2)^0

4 = A1 + A2

b1 = -2 = A1(4)^1 + A2(-2)^1

-2 = 4A1 – 2A2

Proses eliminasi:

4   = A1   +   A2  | x2 | 8 = 2A1 + 2A2

-2 = 4A1 – 2A2 | x1 | -2 = 4A1 – 2A2 (dijumlah)

————- +

6 = 6A1 maka

A1 = 1

A2 = 3 sehingga

an = A1a1^n + A2a2^n

= 1(4)^n + 3(-2)^n

========================================================================

7. Diketahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesaikan untuk suku ke-n!

a. 2n

b. 4n

c. n

d. 2

Jawab:

Sn = 2Sn-1

= 2 (2Sn-2) = 22 Sn-2

= 23 Sn-3

= ………

= 2nS0

= 2n

========================================================================

8. 3an – 5an-1 + 2an-2 = n² + 5

Diketahui : a₃ = 3 , a₄ = 3

Tentukan : a₅ = ?

Jawab

C0 = 3

C1 = -5

C2 = 2

K = 2

F(n) = n² + 5

Jika gambarnya tidak muncul dapat melalui link ini

========================================================================

9. bn = bn – 2 + 2bn -3

b5 = 8, b4 = 5. Tentukan b7!

C0 = 1,  C1 = -1, C2 = -2, K = 2, f(n) = 0

b5 = 8, b4 = 5

b7 = -1/1 ((-1) bn – 2 + (-2)b7 – 3 – f(n))

= -1/1 ((-1) b7 – 2 + (-2) b7 – 3 f(n))

= -1 ((-1)(8) + (-1)(5) – 0)

= -1 (-8) + (-7)

= -1(-15)

= 15

10. Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0  dengan kondisi batas b0 = 0 , b1 = 1 !

Penyelesaian :

Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.

Persamaan karakteristik dari relasi rekursi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2  +  a  – 6 = 0 atau (a+ 3) (a – 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3   dan a2 = 2.

Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h)  = A1a1n  +  A2 a2n Þ bn(h)  = A1 (-3)n  +  A2 . 2n.

Sehingga solusi homogen dari relasi rekursi tersebut adalah bn(h)  = (-3)n  +   2n